1. Pendahuluan

Uji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara :

frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktual dengan frekuensi harapan/ekspektasi

1. 1. Pengertian Frekuensi Observasi dan Frekuensi Harapan

frekuensi observasi → nilainya didapat dari hasil percobaan (o)

frekuensi harapan → nilainya dapat dihitung secara teoritis (e)

Contoh :

1. Sebuah dadu setimbang dilempar sekali (1 kali) berapa nilai ekspektasi sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5 dan sisi-6 muncul?

1. Sebuah dadu setimbang dilempar 120 kali berapa nilai ekspektasi sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5 dan sisi-6 muncul?

*) setiap kategori memiliki frekuensi ekspektasi yang sama yaitu :16 x 120 = 20

Apakah data observasi akan sama dengan ekspektasi?

Apakah jika anda melempar dadu 120 kali maka pasti setiap sisi akan muncul sebanyak 20 kali? Coba lempar dadu sebanyak 120 kali, catat hasilnya, berapa frekuensi kemunculan setiap sisi?

Catatan tersebut adalah frekuensi observasi.

1. 2. Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (χ²)

Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ² selalu positif.

Bentuk distribusi χ² tergantung dari derajat bebas (db)/degree of freedom.

Contoh : Berapa nilai χ² untuk db = 5 dengan α = 0.010? (15.0863)

Berapa nilai χ² untuk db = 17 dengan α = 0.005? (35.7185)

Pengertian α pada Uji χ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah penolakan H0 atau taraf nyata pengujian

Perhatikan gambar berikut :

1. 3. Pengunaan Uji χ

Uji χ² dapat digunakan untuk :

1. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit test
2. Uji Kebebasan
3. Uji beberapa proporsi

Prinsip pengerjaan (b) dan (c) sama saja

1. B. Uji Kecocokan (Goodness of fit test)
1. 1. Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

H0: frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan.

H1 : Ada kategori yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut.

Contoh 1 :

Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu . Dadu setimbang jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali.

H0 : setiap sisi akan muncul = 20 kali.

H1 : ada sisi yang muncul ≠20 kali.

Contoh 2 :

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara

Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

H0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1

1. 2. Rumus χ²

k : banyaknya kategori/sel, 1,2 … k

o : frekuensi observasi untuk kategori ke-i i

e : frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i i

kaitkan dengan frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H0

Derajat Bebas (db) = k – 1

1. 3. Perhitungan χ²

Contoh 3 :

Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut :

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Apakah dadu itu dapat dikatakan setimbang?

Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 5 %

Solusi :

1. H0 : Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 20 kali.

H1 : Dadu tidak setimbang → ada sisi yang muncul ≠20 kali.

1. Statistik Uji χ²
2. Nilai α = 5 % = 0.05

k = 6 ; db = k – 1 = 6-1 = 5

1. Nilai Tabel χ²

k = 6 ; db = k – 1 = 6-1 = 5

db = 5;α = 0.05 → χ² tabel = 11.0705

1. Wilayah Kritis = Penolakan H0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α)

χ² hitung > 11.0705

1. Perhitungan χ²

(catatan : Gunakan tabel agar pengerjaan lebih sistematik)

χ² hitung = 1.70

1. Kesimpulan :

χ² hitung = 1.70 χ² tabel (db; α)

χ² hitung > 11.3449

1. Perhitungan χ²

*) Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 :1

Dari 500 kg adonan → Nilai ekspektasi Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg

Nilai ekspektasi Gula = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Susu = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Krim = 1/10 x 500 = 50 kg

χ² hitung = 13.75

1. Kesimpulan :

χ² hitung > χ² tabel ( 13.75 > 11.3449)

H0 ditolak, H1 diterima.

Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 :1

1. C. Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi

Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama dengan pengujian beberapa proporsi.

(Berbeda hanya pada penetapan Hipotesis awal dan hipotesis alternatif)

1. 1. Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

Uji Kebebasan :

H0 : variabel-variabel saling bebas

H1 : variabel-variabel tidak saling bebas

Uji Beberapa Proporsi :

H0 : setiap proporsi bernilai sama

H1 : ada proporsi yang bernilai tidak sama

1. 2. Rumus Uji χ2

Data dalam pengujian ketergantungan dan beberapa proporsi disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi.

Bentuk umum Tabel Kontingensi → berukuran r baris x k kolom

derajat bebas = (r-1)(k-1)

r : banyak baris

k : banyak kolom

o: frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j ij,

e : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

1. 3. Perhitungan χ²

Contoh 5 :

Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu pabrik. Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai berikut

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja?

Lakukan pengujian kebebasan variabel dengan taraf uji 5 %

Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 x 2 ( 3 baris dan 2 kolom)

db = (3-1)(2-1) = 2 x 1 = 2

Solusi :

1. H0 : Gender dan Jam kerja saling bebas

H1 : Gender dan Jam kerja tidak saling bebas

1. Statistik Uji = χ²
2. Nilai α = 5 % = 0.05
3. Nilai Tabel χ² db = 2; α = 0.05 → χ² tabel = 5.99147
4. Wilayah Kritis : Penolakan H0 → χ² hitung > χ² tabel

χ² hitung > 5.99147

1. Perhitungan χ²

frekuensi harapan untuk :

pria, 50 jam = (14 x 12) / 30 = 5.6

wanita, 50 jam = (16 x 12) / 30 = 6.4

Selesaikan Tabel perhitungan χ² di bawah ini.

1. Kesimpulan

χ² hitung < χ² tabel (0.4755 < 5.99147)

χ² hitung ada di daerah penerimaan H0

H0 diterima, gender dan jam kerja saling bebas

Catatan : Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan bukan hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)

1. D. Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama Least-Squares Method, adalah salah satu metode ‘pendekatan’ yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk: (a). regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik-titik data diskretnya (dalam pemodelan), dan (b). analisis sesatan pengukuran (dalam validasi model).

Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode-metode pendekatan sesatan terdistribusi (“distributed error” approximation methods), berdasarkan karakterisik kerjanya yang melakukan pengurangan sesatan menyeluruh (global error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan keseluruhan (whole approximation interval) sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode ini berbeda dengan metode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui pendekatan melalui deret ‘Taylor’, karena metode asimptotis memiliki karakteristik kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order pendekatan yang meningkat.

Metode kuadrat terkecil ini juga memainkan peranan penting dalam teori statistik, karena metode ini seringkali digunakan dalam penyelesaian problem-problem yang melibatkan kumpulan data yang tersusun secara acak, seperti dalam sesatan-sesatan percobaan.

1. 1. Persamaan dan Model sebagai obyek regresi

Dalam dunia keteknikan metode kuadrat terkecil ini digunakan untuk melakukan regresi dan atau pencocokan kurva yang diharapkan dapat membentuk persamaan matematis tertentu. Secara empiris, persamaanpersamaan matematis tertentu yang sering digunakan di antaranya adalah:

1. Persamaan ‘garis lurus’ (linier): y = a x + b
2. Persamaan parabolis (kuadratis): y = p x2 + q x + r
3. Persamaan polinomial (secara umum):

1. Persamaan eksponensial: y = a eb x + c x + d
2. Persamaan asimptotis:

1. 2. Regresi Sederhana untuk Persamaan Linier

Bentuk umum dari persamaan linier, dapat dituliskan sebagai berikut:

dengan:

a = kelandaian (slope) kurva garis lurus

b = perpotongan (intercept) kurva dengan ‘ordinat’ atau sumbu tegak

Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian hargaharga tetapan a dan b berdasarkan deretan data yang ada (jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah). Persamaan sebaran (S atau distribusi) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:

Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung a dan b adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap tetapan a dan b (dalam hal ini, a dan b dianggap sebagai variabel-variabel semu),

1. 3. Regresi Persamaan Parabola

Persamaan Parabola atau Persamaan Kuadrat mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut:

Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian hargaharga tetapan p, q dan r berdasarkan set data yang diberikan (ingat: jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah !). Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:

1. 4. Regresi Persamaan Kubus (polinomial order 3)

Persamaan Kubus atau Persamaan polinomial order 3 mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut:

Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian hargaharga parameter c0 sampai dengan c3 berdasarkan set data yang diberikan (ingat: pasangan data x-y selalu berjumlah N buah !). Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:

1. 5. Regresi Multilinier

Beberapa persamaan aljabar dapat membentuk suatu ‘relasi linier’ atau yang sejenisnya, antara beberapa variabel bebas (independent variables) dengan sebuah variabel terikat (dependent variable). Relasi tersebut seringkali dijumpai dalam dunia keteknikan, termasuk hasil logaritmik dari persamaanpersamaan analisis adimensional ataupun relasi analogi bilangan-bilangan tak berdimensi. Bentuk umum dari persamaan multilinier seperti di atas dapat disederhanakan dalam relasi fungsi matematis berikut:

1. E. Koefisein Korelasi

Dalam pengujian validitas konstruk, koefisien korelasi momen-produk Pearson (ρ atau r) digunakan sebagai batas valid atau tidaknya sebuah item (butir). Jika skala (kuesioner) Anda terdiri dari 30 item (pertanyaan) dan semua item disusun mengikuti prinsip skala Likert (Likert Summated Ratings), maka sebuah item dianggap valid jika koefisien hubungan item tersebut dengan total keseluruhan item yang kemudian kita notasikan sebagai R haruslah lebih besar atau sama dengan R dalam Tabel r (R ≥ r).

Andai kata kita telah mendapat suatu hubungan yang memadai antara y dan x, baik dengan analisa kuadrat terkecil, ataupun dengan mempaskan kurva grafik. Kita ingin mengetahui berapa pas data itu, dan parameter yang diguakan untuk menberikan informasi ini adalah koefisien korelasi (correlation coefisient), r, yang didefinisikan sebagai :

atau

dimana:

r = koefisien korelasi

n = ukuran sampel

x = nilai var bebas

y = nilai var terikat